Question

已知2008=，其中x，y为正整数，求x+y的最大值和最小值．

Answer 1

解：∵2008=
2008=xy-1
∴2009=xy
∵x，y为正整数，并且乘积是2009的个位数是9
因而x、y的个位可能是1、3、7、9
①当x的个位是1时，
x=1，y=2009显然成立，
x=11，y不存在，
x=21，y不存在，
x=31，y不存在，
x=41，y=49，
②当x的个位是3时
x=3，y不存在，
x=13，y不存在，
x=23，y不存在，
x=33，y不存在，
x=43，y不存在；
③当的个位是7时
x=7，y=287
x=17，y不存在
x=27，y不存在
x=37，y不存在
x=47，y不存在；
④当x的个位是9时
x=9，y不存在
x=19，y不存在
x=29，y不存在
x=39，y不存在
x=49，y=41．
故可能的情况是
①x=1，y=2009或x=2009，y=1，x+y=2010
②x=7，y=287或x=287，y=7，x+y=7+287=394
③x=41，y=49或x=49，y=41，x+y=41+49=90
故x+y的最大值是2010，最小值是90
分析：首先根据2008=可知xy=2009，再根据x，y为正整数，确定x、y可能的取值．根据xy的乘积的个位是9，确定x、y的个位可能是1、3、7、9．通过x、y都具有同等的地位，那么x取过的值，y也有可能，故只取x即可，x的十位数最大不会超过5．因而
就x取值可能是1、11、13、17、19、21、23、27、29、31、33、37、39、41、43、47、49．就这几种情况讨论即可．
点评：本题考查的是因式分解．解决本题的关键是根据已知，尽量缩小x、y的可能取值范围，并且都要涉及到．