Question

12．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆的中点，D、E别在OB、AC上，且∠CDE=45°，DC=DE，BD=2，求CE的长．

Answer 1

分析 由已知条件得出$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，△ABC是等腰直角三角形，得出∠A=∠B=45°，证出∠ADE=∠BCD，由ASA证明ADE≌△BCD，得出AE=BD=2，AD=BC，设AD=BC=AC=x，则AB=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$x，得出方程x+2=$\sqrt{2}$x，解方程求出AC，即可得出结果．

解答 解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，C是半圆的中点，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，AC=BC，
∴∠BCD+∠BDC=135°，
∵∠CDE=45°，
∴∠ADE+∠BDC=135°，
∴∠ADE=∠BCD，
在△ADE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}&{\;}\\{∠ADE=∠BCD}&{\;}\\{DE=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴ADE≌△BCD（AAS），
∴AE=BD=2，AD=BC，
设AD=BC=AC=x，
则AB=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$x，
∴x+2=$\sqrt{2}$x，
解得：x=2$\sqrt{2}$+2，
∴CE=AC-AE=2$\sqrt{2}$+2-2=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理，证明三角形全等是解决问题的关键．