已知关于x的一元二次方程x2+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有两个不相等的实数根.k为正整数．(1)求k的值,(2)当此方程有一根为0时.直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+$\frac{k-1}{2}$的图象交于A.B两点．若M是线段AB上的一个动点.过点M作MN⊥x轴.交二次函数的图象于点N.求线段MN的最大值及此时� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．

已知关于x的一元二次方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有两个不相等的实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有一根为0时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x²+2x+$\frac{k-1}{2}$的图象交于A、B两点．若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；
（3）若直线y=$\frac{1}{2}$x+b与函数y=|x²+2x+$\frac{k-1}{2}$|的图象恰好有三个公共点，求b的值．

分析（1）利用一元二次方程根的判别式可得到关于k的不等式，利用k为正整数可求得k的值；
（2）由条件可求得k的值，则可求得二次函数解析式，可求得A、B坐标，可设M坐标为（m，m²+2m），可表示出N点坐标，则可用m表示出线段MN的长，利用二次函数的性质可求得线段MN的最大值及此时点M的坐标；
（3）可画出二次函数的图象，当直线过A点时，可知直线与抛物线有三个公共点，当直线不过A点时，结合函数图象，利用方程可求得对应的b的值．

解答解：
（1）∵关于x的一元二次方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=4-4×$\frac{k-1}{2}$＞0，解得k＜3，
∵k为正整数，
∴k为1或2；
（2）把x=0代入方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0，解得k=1，
此时二次函数为y=x²+2x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y={x}^{2}+2x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴A（-2，0），B（1，3），
由题意可设M（m，m+2），其中-2＜m＜1，
则N（m，m²+2m），
∴MN=|m+2-（m²+2m）|=-m²-m+2=$-{（m+\frac{1}{2}）^2}+\frac{9}{4}$，
∴当m=$-\frac{1}{2}$时，MN的长度最大值为$\frac{9}{4}$，
此时点M的坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
（3）①当y=$\frac{1}{2}$x+b₁过点A时，直线与函数图象有3个公共点（如图2所示），

把A（-2，0）代入y=$\frac{1}{2}$x+b₁，得b₁=1，
②当y=$\frac{1}{2}$x+b₂与函数图象有3个公共点，
由于该函数图象与虚线对应的部分解析式为y=-x²-2x，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+b{\;}_2\\ y=-{x^2}-2x\end{array}\right.$有唯一解，此时-x²-$\frac{5}{2}$x-b₂=0有两个相等的实数根，
则${（-\frac{5}{2}）^2}-4{b_2}=0$，解得b₂=$\frac{25}{16}$，
综上所述b=1或b=$\frac{25}{16}$．