Question

点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s.

（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

（2）当t=            时，△PBQ是直角三角形？

（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．

Answer 1

（1）∠CMQ=60°不变

∵等边△ABC                

∴CA=AB, ∠CAP=∠ABQ=60°    

∵AP=BQ

∴△CAP≌△ABQ

∴ ∠ACP=∠BAQ              

∴∠CMQ=∠ACM+∠MAC

= ∠BAQ+∠MAC

=60°                  

（2）t=                  

（3）∠CMQ=120°不变

∵等边△ABC                

∴CA=AB=BC, ∠ACB=∠ABC=60° 

∴ ∠ACQ=∠CBP=120°          

∵AP=BQ

∴CQ=BP                    

∴△ACQ≌△CBP

∴ ∠CAQ=∠BCP                

∴∠CMQ=∠CAM+∠ACM

= ∠BCP+∠ACM

=180°-60°

=120°