Question

5．（1）观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．
求证：△AEC≌△CDB；
（2）类比探究：如图2，如图，AB丄MN，垂足为O，点P在射线OA上，点C在射线ON上，DP丄PC且DP=PC，过点D作DE丄OM于点E，则$\frac{OC-DE}{OP}$的值为1．（直接写答案）
（3）拓展提升：如图3，边长为4cm正方形ABCD中，点E在DC上，且DE=1cm，动点F从点B沿射线BC以1cm/s速度向右运动，连结EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EH．要使点H恰好落在射线AD上，求点F运动的时间ts．

Answer 1

分析 （1）先证明∠A=∠BCD，根据AAS证△AEC≌△CDB即可；
（2）作DG⊥AB于G，证出四边形DEOG是矩形，得出DE=OG，同（1）得：△PDG≌△CPO，得出PG=OC，即可得出所求的值；
（3）同（1）得：△CEF≌△DHE，得出CF=DE=1cm，求出BF=BC+CF=5cm，即可得出t的值．

解答 （1）证明：∵BD⊥l，AE⊥l，
∴∠BDC=∠CEA=90°，
∴∠A+∠ACE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACE=90°，
∴∠A=∠BCD，
在△AEC和△CDB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CEA=∠BDC}&{\;}\\{∠A=∠BCD}&{\;}\\{AC=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△CDB（AAS）．

（2）解：作DG⊥AB于G，如图2所示：
∵DE⊥OM，AB⊥MN，DG⊥AB，
∴四边形DEOG是矩形，
∴DE=OG，
同（1）得：△PDG≌△CPO，
∴PG=OC，
∴$\frac{OC-DE}{OP}$=$\frac{PG-OG}{OP}$=$\frac{OP}{OP}$=1，
故答案为：1；

（3）解：如图3所示：同（1）得：△CEF≌△DHE，
∴CF=DE=1cm，
∵BC=4cm，
∴BF=BC+CF=5cm，
∴t=5，
即点F运动的时间为5s．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．