Question

用反证法证明：
（1）已知：a＜|a|，求证：a必为负数．
（2）求证：形如4n+3的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和．

Answer 1

证明：（1）假设a≥0，则|a|=a，这与已知|a|＞a相矛盾，
因此假设不成立，
所以a必为负数；

（2）假设4n+3的整数部分k能化成两个整数的平方和，不妨设这两个整数为α，β，
则4n+3=α²+β²，
因为（n+2）²+（-n²-1）≠α²+β²，
所以假设不成立，
故4n+3的整数k不能化为两个整数的平方和．
分析：（1）首先假设a≥0，则|a|=a，与已知|a|＞a矛盾，因此a必为负数．
（2）假设4n+3的整数部分k能化成两个整数的平方和，设这两个整数为α，β，则有4n+3=α²+β²，因为（n+2）²+（-n²-1）≠α²+β²，可得前后矛盾，因此假设结论不成立，进而得出答案．
点评：本题考查了反证法，注意逆命题的与原命题的关系是解题关键．