如图1.点P为∠MON的平分线上一点.以P为顶点的角的两边分别与射线OM.ON交于A.B两点.如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2.我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．如图2.已知∠MON=90°.点P为∠MON的平分线上一点.以P为顶点的角的两边分别与射线OM.ON交于A.B两点.且∠APB=135°．请判断:∠APB是否为∠MON的智慧角.并说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP²，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．
请判断：∠APB是否为∠MON的智慧角，并说明理由．

分析由角平分线求出∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠MON=45°，再证出∠OAP=∠OPB，证明△AOP∽△POB，得出对应边成比例$\frac{OA}{OP}=\frac{OP}{OB}$，得出OP²=OA•OB，即可得出结论；

解答证明：∵∠MON=90°，P为∠MON的平分线上一点，
∴∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠MON=45°，
∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，
∴∠OAP+∠APO=135°，
∵∠APB=135°，
∴∠APO+∠OPB=135°，
∴∠OAP=∠OPB，
∴△AOP∽△POB，
∴$\frac{OA}{OP}=\frac{OP}{OB}$，
∴OP²=OA•OB，
∴∠APB是∠MON的智慧角．

点评本题考查了角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、新定义以及运用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．