Question

3．如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AD的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E．求证：△ABE∽△DBC．

Answer 1

分析 根据圆周角定理可得∠BAC=∠BDC=90°，∠ABD=∠CBD，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABE∽△DBC．

解答 证明：∵BC为半圆的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵D是弧AD的中点，即$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠BAE=∠BDC，∠ABE=∠DBC，
∴△ABE∽△DBC．

点评 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了圆周角定理．