Question

2．矩形ABCD中，边长AB=4，边BC=2，M、N分别是边BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．则CN的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据三角形相似列出比例式得到二次函数的解析式，求出最大值即为所求．

解答 解：设CN=y，CM=x，则BM=2-x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠AMN=90°，
∴∠BAM+∠AMB=∠NMC+∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠NMC，
∴△ABM∽△MCN，
∴$\frac{AB}{CM}$=$\frac{BM}{CN}$，
即$\frac{4}{x}$=$\frac{2-x}{y}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²$+\frac{1}{2}x$，
∵a=-$\frac{1}{4}$＜0，
∴y有最大值，y_最大=$\frac{1}{4}$，
∴CN的最大值=$\frac{1}{4}$．
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，列出函数关系式求出最大值是解题的关键．