Question

如图所示，将一边长为3的正方形放置到平面直角坐标系中，其顶点A、B均落在坐标轴上，一抛物线过点A、B，且顶点为P（1，4）

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M为抛物线上一点，恰使△MOA≌△MOB，求点M的坐标；

（3）y轴上是否存在一点N，恰好使得△PNB为直角三角形？若存在，直接写出满足条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

　

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）由正方形的性质可知OA=OB=3，从而得到点A的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）²+4，把A（0，3）代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；

（2）由全等三角形对应边相等可知MA=BM，从而可知点M在AB的垂直平分线上，故此点M为直线OC与抛物线的交点，然后求得直线OC与抛物线的交点坐标即可；

（3）设N（0，t）．分为∠PNB=90、∠NPB=90°、∠PBN=90°三种情况画出图形，然后依据相似三角形对应边成比例列出关于t的方程求解即可．

【解答】解：（1）∵正方形的边长为3，

∴A（0，3），B（3，0）．

设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）²+4．

∵把A（0，3）代入得：a+4=3，解得a=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）²+4=﹣x²+2x+3．

（2）如图1所示：

∵△MOA≌△MOB，

∴AM=BM．

∴点M在AB的垂直平分线上．

∵OACB为正方形，

∴OC为AB的垂直平分线．

设OC的解析式为y=kx，

∵将C（3，3）代入得：3k=3，解得：k=1，

∴直线OC的解析式为y=x．

由y=x与y=﹣x²+2x+3得：x=﹣x²+2x+3，解得：x₁=，x₂=．

∴M（，），M′（，）．

∴点M的坐标为（，）或（，）．

（3）设N（0，t）．

①当∠PNB=90时，如图2所示．连接PN、BN，过点P作PM⊥y轴，垂足为M．

由△PMN∽△NOB，得：，解得：t₁=1，t₂=3．

②当∠NPB=90°时．

如图3所示；连接PN、BN，过点P作x轴的平行线，交BC延长线与点M．

由△PMN∽△NOB，得：，解得：t=．

③当∠PBN=90°时，如图4所示，过点P作x轴的平行线，交BC延长线与点M．

由△PMB∽△NOB得：，解得：t=﹣．

综上所述，点M的坐标为（0，1）、（0，3）、（0，）、（0，﹣）．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题需要熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤和方法、二次函数表达式的三种基本形式、相似三角形的性质、正方形的性质，分类讨论是解题的关键．