Question

4．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE．
（1）如图1，求证：△BCE≌△DCE；
（2）如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG=FB．
①求证：DE⊥FG；
②已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时，求线段DE的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．

Answer 1

分析 （1）利用判定定理（SAS）可证；
（2）①利用（1）的结论与正方形的性质，只需证明∠FDE+∠DFG=90°即可；
②由DE⊥FG可构造直角三角形，利用等边三角形的性质及三角函数可求DE的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是其对角线，
∴∠DCE=∠BCE，CD=CB
在△BCE与△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}&{（已证）}\\{∠DCE=∠BCE}&{（已证）}\\{CE=CE}&{（公共边）}\end{array}\right.$
∴△BCE≌△DCE（SAS）．
（2）①证明：∵由（1）可知△BCE≌△DCE，
∴∠FDE=∠FBC
又∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，
∴∠DFG=∠BGF，∠CFB=∠GBF，
又∵FG=FB，
∴∠FGB=∠FBG，
∴∠DFG=∠CFB，
又∵∠FCB=90°，
∴∠CFB+∠CBF=90°，
∴∠EDF+∠DFG=90°，
∴DE⊥FG
②解：如下图所示，

∵△BFG为等边三角形，
∴∠BFG=60°，
∵由（1）知∠DFG=∠CFB=60°，
在Rt△FCB中，∠FCB=90°，
∴FC=CB•cot60°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，DF=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
又∵DE⊥FG，
∴∠FDE=∠FED=30°，OD=OE，
在Rt△DFO中，
        OD=DF•cos30°=$\sqrt{3}$-1，
∴DE=2（$\sqrt{3}$-1）

点评 本题考查了正方形、等边三角形、直角三角形及三角函数等知识点，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理、两直线垂直的条件及综合应用所学知识的能力．