Question

18．如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在$\widehat{AB}$上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是2$\sqrt{2}$π．

Answer 1

分析 如图，由此BO交⊙O于F，取$\widehat{BF}$的中点H，连接FH、HB、BD．易知△FHB是等腰直角三角形，HF=HB，∠FHB=90°，由∠FDB=45°=$\frac{1}{2}$∠FHB，推出点D在⊙H上运动，轨迹是$\widehat{GB}$（图中红线），易知∠HFG=∠HGF=15°，推出∠FHG=150°，推出∠GHB=120°，易知HB=3$\sqrt{2}$，利用弧长公式即可解决问题．

解答 解：如图，由此BO交⊙O于F，取$\widehat{BF}$的中点H，连接FH、HB、BD．

易知△FHB是等腰直角三角形，HF=HB，∠FHB=90°，
∵∠FDB=45°=$\frac{1}{2}$∠FHB，
∴点D在⊙H上运动，轨迹是$\widehat{GB}$（图中红线），
易知∠HFG=∠HGF=15°，
∴∠FHG=150°，
∴∠GHB=120°，易知HB=3$\sqrt{2}$，
∴点D的运动轨迹的长为$\frac{120•π•3\sqrt{2}}{180}$=2$\sqrt{2}$π．
故答案为2$\sqrt{2}$π．

点评 本题考查轨迹、弧长公式、圆的有关知识、正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点D的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．