题目内容

5．如图1，一次函数y=-2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段BC⊥AB且BC=AB，直线AC交x轴于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求点C的坐标，并直接写出直线AC的函数关系式；
（3）若点P是图1中直线AC上的一点，连接OP，得到图2．
请在下面的A，B两题中任选一题解答，我选择．
A．当点P的纵坐标为3时，求△AOP的面积；
B．当点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等时，求△AOP的面积；
（4）若点Q是图1中坐标平面内不同于点B、点C的一点．
请在下面的A，B两题中任选一题解答，我选择
A．当以点B，D，Q为顶点的三角形与△BCD全等时，直接写出点Q的坐标；
B．当以点C，D，Q为顶点的三角形与△BCD全等时，直接写出点Q的坐标．

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）过点C作CM⊥x轴于M，由△AOB≌△BMC，推出点C的坐标为（3，1），再利用待定系数法即可解决问题．
（3）A．点P在直线AC上，且点P的纵坐标为3，把y=3代入y=-$\frac{1}{3}$x+2，得x=-3，过点P作PN⊥y轴于点N，推出PN=3，根据S△OAP=$\frac{1}{2}$•OA•PN计算即可．
B．点P在直线AC上，设P（x，-$\frac{1}{3}$x+2），因为点P在第二象限，到x轴，y轴距离相等，得-x=-$\frac{1}{3}$x+2，推出PN=3，根据S△OAP=$\frac{1}{2}$•OA•NP即可解决问题．
（4）A．如图3中，以点B，D，Q为顶点的三角形与△BCD全等时，点Q有三种情形如图所示．
B．如图4中，以点B，D，Q为顶点的三角形与△BCD全等时，点Q有三种情形如图所示．

解答 解：（1）把x=0代入y=-2x+2中，得y=2，
∴点A的坐标为（0，2）．
把y=0代入y=-2x+2，得-2x+2=0，解得x=1，
∴点B的坐标为（1，0）．

（2）如图1中，过点C作CM⊥x轴于M，

∴∠AOB=∠BMC=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBM=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBM，
在△AOB和△BMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠CBM}\\{∠AOB=∠CMB}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BMC，
∴BM=OA=2，CM=OB=1，
∴OM=3，
∴点C的坐标为（3，1），
是直线AC的解析式为y=kx+b则有$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{3k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+2．

（3）如图2中，

A．∵点P在直线AC上，且点P的纵坐标为3，
∴把y=3代入y=-$\frac{1}{3}$x+2，得x=-3，
过点P作PN⊥y轴于点N，
∴PN=3，
∴S△OAP=$\frac{1}{2}$•OA•PN=$\frac{1}{2}$×2×3=3．
B．∵点P在直线AC上，
∴P（x，-$\frac{1}{3}$x+2），
∵点P在第二象限，到x轴，y轴距离相等，
∴-x=-$\frac{1}{3}$x+2，
∴x=-3，
过点P作PN⊥y轴于点N，
∴PN=3，
∴S△OAP=$\frac{1}{2}$•OA•NP=$\frac{1}{2}$×2×3=3．

（4）A．如图3中，以点B，D，Q为顶点的三角形与△BCD全等时，点Q有三种情形如图所示，

Q1（3，-1），Q2（4，-1），Q3（4，1）；
B．如图4中，以点B，D，Q为顶点的三角形与△BCD全等时，点Q有三种情形如图所示，
Q1（8，1），Q2（2，3），Q3（7，-2）．
（提示过C作CM⊥BD于M，作Q2N⊥CM于N，易知△BCM≌△CQ2N，由此即可求出Q2坐标）

点评 本题考查一次函数综合题、待定系数法、三角形的面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

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