Question

7．如图，抛物线y=ax²+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为
（一1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b²；②方程ax²+bx+c=0的两个根是x₁=-1，x₂=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是-1≤x＜3；⑤若（-$\frac{3}{2}$，y₁），（$\frac{10}{3}$，y₂）是抛物线上两点，则y₁＜y₂．
其中结论正确的个数是（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 根据二次函数与x轴有两个交点判断①；利用对称性求得抛物线与x轴的交点即可求得对应的方程的解；利用待定系数法求得函数的解析式即可对④判断；根据对称性判断⑤．

解答 解：①因为抛物线与x轴有两个交点，则△=b2-4ac＞0，即4ac＜b²，则命题正确；
②（-1，0）关于x=1的对称点是（3，0）则方程ax²+bx+c=0的两个根是x₁=-1，x₂=3正确；
③根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{a-b+c=0}\\{-\frac{b}{2a}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
则3a+c=-3+3=0，故命题错误；
④根据图象y＞0，则函数图象在x轴的上方，则-1＜x＜3，故命题错误；
⑤（-$\frac{3}{2}$，0）关于x=1的对称点是（$\frac{7}{2}$，0），
而$\frac{7}{2}$＞$\frac{10}{3}$，
则y₁＜y₂，命题正确．
则正确的是：①②⑤．
故选B．

点评 本题考查了抛物线的对称性、用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程的解法等知识．