Question

20．【感知】如图①，点M是正方形ABCD的边BC上一点，点N是CD延长线上一点，且MA⊥AN，易证△ABM≌△ADN，进而证得BM=DN（不要求证明）
【应用】如图②，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°．求证：BE+DF=EF．
【拓展】如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，若BD=3，EF=1.7，则四边形BEFD的周长为6.4．

Answer 1

分析 【应用】如图②中，过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G．先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，由此即可证明．
【拓展】如图③中，如图③中，过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G．首先证明BE+DF=EF，由此即可计算四边形的周长．

解答 【应用】如图②中，过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G．

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠B=∠BAD=∠ADC=90°．
∴∠B=∠ADG=90°，∠BAE+∠EAD=90°．
∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD=90°．
∴∠BAE=∠DAG．
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ADG}\\{∠BAE=∠GAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG．
∴AE=AG，BE=DG．
∵∠EAF=45°，AG⊥AE，
∴∠EAF=∠GAF=45°．
在△FAE和△FAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠FAE=∠FAG}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF．
∴EF=FG．
∵FG=DF+DG=DF+BE，
∴BE+DF=EF．

【拓展】如图③中，过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G．

∵AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°
∴∠ABE=∠ADG，
∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD=90°．
∵∠BAE+∠EAD=90°
∴∠BAE=∠DAG．
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠ADG}\\{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG．
∴AE=AG，BE=DG．
∵∠EAF=45°，AG⊥AE，
∴∠EAF=∠GAF=45°．
在△FAE和△FAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠FAE=∠FAG}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF．
∴EF=FG．
∵FG=DF+DG=DF+BE，
∴BE+DF=EF．
∴四边形BEFD的周长为EF+（BE+DF）+DB=1.7+1.7+3=6.4，
故答案为6.4

点评 本题考查四边形的综合题、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，解题的关键是学会由感知部分得到启发，添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．