Question

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点做EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG、CG

（1）求证：EG=CG；
（2）将图甲中△BEF绕B点旋转45°，如图乙所示，取DF的中点G，连接EG、CG．问（1）中的结论是否依然成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）（2）中的EG与CG互相垂直吗？为什么？

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．
（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．
（3）利用（2）中等腰三角形“三线合一”的性质推知EG与CG互相垂直．

解答：（1）证明：如图甲，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCF=90°，
∵在Rt△FCD中，G为DF的中点，
∴CG=

1

2

FD，
同理，在Rt△DEF中，EG=

1

2

FD，
∴CG=EG．

（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG．
证法一：如图乙①，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．
在△DAG与△DCG中，

AD=CD ∠ADG=∠CDG DG=DG

，
∴△DAG≌△DCG（SAS），
∴AG=CG．
在△DMG与△FNG中，

∠DGM=∠FGN FG=DG ∠MDG=∠NFG

，
∴△DMG≌△FNG（ASA），
∴MG=NG．
∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，
∴四边形AENM是矩形，
∴AM=EN．
在△AMG与△ENG中，

AM=EN ∠AMG=∠ENG MG=NG

，
∴△AMG≌△ENG（SAS），
∴AG=EG，
∴EG=CG．
证法二：延长CG至M，使MG=CG，
连接MF，ME，EC，
在△DCG与△FMG中，

FG=DG ∠MGF=∠CGD MG=CG

，
∴△DCG≌△FMG（SAS）．
∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，
∴MF∥CD∥AB，
∴EF⊥MF．
在Rt△MFE与Rt△CBE中，

MF=CB ∠MFE=∠EBC EF=BE

，
∴△MFE≌△CBE（SAS），
∴∠MEF=∠CEB．
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，
∴△MEC为直角三角形．
∵MG=CG，
∴EG=

1

2

MC，
∴EG=CG．

（3）（2）中的EG与CG互相垂直．理由如下：
由（2）知，△MEC是等腰直角三角形．
∵G为CM中点，
∴EG⊥CG．

点评：考查了四边形综合题，难度较大．作出辅助线是解决的关键．利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质．