Question

11．将抛物线y=x²+2x-4向左平移2个单位，又向上平移3个单位，最后绕顶点旋转180°．
①求变换后新抛物线对应的函数解析式；
②若这个新抛物线的顶点横纵坐标恰为x的整系数方程x²-（4m+n）x+3m²-2n=0的两根．求m、n的值．

Answer 1

分析 （1）用顶点公式或者配方的办法，求出抛物线的顶点坐标，根据抛物线的平移规律，写出平移后的抛物线的解析式，抛物线绕顶点旋转180°后，改变的只是开口方向，写出旋转后抛物线的解析式．
（2）首先求出新抛物线的解析式，再根据根与系数的关系，得到关于m、n的方程组，求出m、n的值．

解答 （1）解：∵y=x²+2x-4=（x+1）²-5，
∴抛物线y=x²+2x-4的顶点坐标为（-1，-5），
因抛物线y=x²+2x-4向左平移2个单位，又向上平移3个单位，
所以其平移后的函数解析式为y=（x+1+2）²-5+3=（x+3）²-2．
抛物线绕顶点旋转180°后的函数解析式为y=-（x+3）²-2．
（2）解：∵抛物线y=-（x+3）²-2的顶点为（-3，-2），
由于抛物线的顶点横纵坐标恰为x的整系数方程x²-（4m+n）x+3m²-2n=0的两根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=-5}\\{3{m}^{2}-2n=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{m}_{1}=\frac{2}{3}}\\{{n}_{1}=-\frac{23}{3}}\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}{{m}_{2}=-2}\\{{n}_{2}=3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了抛物线的顶点坐标、平移规律、旋转规律，考查了一元二次方程的根与系数的关系以及一元二次方程的解法．
（1）求抛物线的顶点可用配方法，也可以用公式：x=-$\frac{b}{2a}，y=\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$；
（2）抛物线的平移规律：左加右减，上加下减．即抛物线写成顶点式y=a（x-h）²+k以后，抛物线向左或右平移，在括号内加减，向上或下平移，在k后加或减．
（3）若一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根为x₁、x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{2a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．