Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．点D为线段BC上一动点，将线段DA绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接CE，若AB=3CE，则tan∠BAD=

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：作AF⊥BC于F，DH⊥AB于H，EG⊥BC于G，AB=AC，∠BAC=90°，根据等腰直角三角形的性质得AF=BF=CF，设AF=t，则BF=CF=t，AB=

2

t，再根据旋转的性质得∠1+∠2=90°，根据同角的余角相等得到∠2=∠3，易证得△ADF≌△DEG，得到DG=AF=t，DF=GE，则DF=CGEG=CG，得到△CEG为等腰直角三角形，
所以CG=

2

2

CE，由于AB=3CE=

2

t，所以CE=

2

3

t，CG=

1

3

t，DF=

1

3

t，可计算出BD=BF-DF=t-

1

3

t=

2

3

t，然后利用△BDH为等腰直角三角形得到BH=DH=

2

2

BD=

2

3

t，则AH=AB-BH=

2 2

3

t，在Rt△AHD中，根据正切的定义求解．

解答：解：作AF⊥BC于F，DH⊥AB于H，EG⊥BC于G，如图，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴AF=BF=CF，
设AF=t，则BF=CF=t，AB=

2

t，
∵线段DA绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，
∴∠1+∠2=90°，DA=DE，
而∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△ADF和△DEG中，

∠3=∠2 ∠AFD=∠DGE AD=DE

，
∴△ADF≌△DEG（AAS），
∴DG=AF=t，DF=GE，
∴DG=CF，
∴DF=CG，
∴EG=CG，
∴△CEG为等腰直角三角形，
∴CG=

2

2

CE，
∵AB=3CE=

2

t，
∴CE=

2

3

t，
∴CG=

1

3

t，
∴DF=

1

3

t，
∴BD=BF-DF=t-

1

3

t=

2

3

t，
∵∠B=45°，
∴△BDH为等腰直角三角形，
∴BH=DH=

2

2

BD=

2

3

t，
∴AH=AB-BH=

2 2

3

t，
在Rt△AHD中，tan∠HAD=

HD

AH

=

1

2

，
即tan∠BAD=

1

2

．
故答案为

1

2

．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和锐角三角函数．