Question

19．如图，已知在直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．点P是x轴上的一个动点，设P（x，0）．
（1）求△ABC的面积；
（2）若△ABP是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）是否存在这样的点P，使得|PC-PB|的值最大？如果不存在，请说明理由；如果存在，请在备用图中标出点P的位置．

Answer 1

分析 （1）由点A与B的坐标，根据勾股定理得出AB的长，又由等腰Rt△ABC，且∠BAC=90°，即可求得AC的值，则可求得△ABC的面积，继而求得答案．
（2）根据点P是x轴上的一个动点，设P（x，0），再利用△ABP是等腰三角形分情况进行分析，得出点P的坐标；
（3）存在这样的P点．当PB与PA成一直线时，|PC-PB|的值最大．

解答 解：（1）∵点A的坐标为：（4，0），点B的坐标为：（0，3），
可得：OB=3，OA=4，
∴在Rt△OAB中，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$，
∴AC=AB=5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×AC=$\frac{1}{2}×5×5$=12.5

（2）△ABP是等腰三角形，点P在x轴上，则有四种情况，
以AB为腰时，
因为AB=5，
所以AP=5，
可得4+5=9，4-5=-1，
所以点P的坐标为（9，0），（-1，0），
以y轴为对称轴，AB为腰时，
可得OP=OA=4，
所以点P的坐标为（-4，0）
以AB为底边时，
点P的坐标为（$\frac{7}{8}$，0）；
综上所述：点P的坐标为：（9，0），（-1，0），（-4，0）；（$\frac{7}{8}$，0）；
（3）存在这样的P点．当PB与PA成一直线时，|PC-PB|的值最大，
如图：

点评 此题考查了点与一次函数的关系、等腰三角形的性质以及三角形面积的求解方法等知识．此题难度适中，注意△ABP是等腰三角形要分情况进行分析得出点的坐标，不能漏解．