Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC上的两个三等分点，以D为圆心的圆过点E，且交AB于点F，此时CF恰好与⊙D相切于点F．如果AC=

24

5

，那么⊙D的半径=

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：首先连接DF，由CF恰好与⊙D相切于点F，可得DF⊥AB，然后由D、E分别是BC上的两个三等分点，利用三角函数的知识即可求得∠DCF的度数，继而求得∠B的度数，则可求得答案．

解答：解：连接DF，
∵CF与⊙D相切于点F，
∴DF⊥AB，
∵D、E分别是BC上的两个三等分点，
∴CE=DE=BD=DF，
∴sin∠DCF=

DF

CD

=

1

2

，
∴∠DCF=30°，
∴∠CDF=90°-∠DCF=60°，
∴∠B=

1

2

∠CDF=30°，
在△ABC中，∠C=90°，AC=

24

5

，
∴BC=

AC

tan∠B

=

24 5

3 3

=

24 3

5

，
∴BD=

1

3

BC=

8 3

5

．
即⊙D的半径=

8 3

5

．

点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理以及三角函数．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．