如图已知二次函数y=ax2图象的顶点为原点.直线y=$\frac{1}{2}$x+4的图象与该二次函数的图象交于A点(8.8).直线与x轴的交点为C.与y轴的交点为B．(1)求这个二次函数的解析式与B点坐标,(2)P为线段AB上的一个动点.过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点.与x轴交于点E．设线段PD的长为h.点P的横坐标为t.求h与t之间的函数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．如图已知二次函数y=ax²图象的顶点为原点，直线y=$\frac{1}{2}$x+4的图象与该二次函数的图象交于A点（8，8），直线与x轴的交点为C，与y轴的交点为B．

（1）求这个二次函数的解析式与B点坐标；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点，与x轴交于点E．设线段PD的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（图1）；
（3）在（2）的条件下，连接BD，当动点P在线段AB上移动时，点D也在抛物线上移动，线段BD也绕点B转动，当BD∥x轴时（图2），请求出P点的坐标．

分析（1）由二次函数的图象过点A（8，8），将其代入函数解析式中即可求得a值，将x=0代入直线方程，即可求得B点坐标；
（2）由P、D横坐标都为t，将其分别代入二次函数和直线解析式，用t表现出P、D点纵坐标，二者相减即可找到h与t的关系，因为P在线段BA上，由此可找出t的范围；
（3）BD平行x轴，可知，B、D两点纵坐标相等，从而求出t值，代入（2）中的P点坐标即可得出结论．

解答解：（1）∵二次函数y=ax²图象过点A（8，8），
∴有8=8²a=64a，解得a=$\frac{1}{8}$，
∴这个二次函数的解析式y=$\frac{1}{8}$x²．
∵点B为直线y=$\frac{1}{2}$x+4的图象与y轴的交点，
∴当x=0时，y=$\frac{1}{2}$×0+4=4，
∴B点的坐标为（0，4）．
（2）∵P点在线段BA上，
∴P点坐标为（t，$\frac{1}{2}$t+4）（0＜t＜8），
∵D点在二次函数图象上，且P、D横坐标相等，
∴D点坐标为（t，$\frac{1}{8}$t²），
PD=h=$\frac{1}{2}$t+4-$\frac{1}{8}$t²=-$\frac{1}{8}$t²+$\frac{1}{2}$t+4（0＜t＜8）．
（3）∵当BD∥x轴时，B、D两点纵坐标相等，且B（0，4）
即4=$\frac{1}{8}$t²，
解得t=4$\sqrt{2}$．
∴P点坐标为（4$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$）．