Question

10．如图，在?ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，且CA=CB，连接AF，CE．求证：四边形AECF是矩形．

Answer 1

分析 先根据平行四边形的性质及中点的定义得出AE=FC，AE∥FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出四边形AECF是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等得出AF=CE，证AE∥CF，AE=CF得到平行四边形AECF，根据等腰三角形的性质求出∠AEC=90°，根据矩形的判定即可推出答案

解答 证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
又∵E、F是AB、CD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AE=CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE．
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC=BC，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．

点评 本题主要考查对平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，矩形的判定等知识点的理解和掌握，能求出BE=DF和平行四边形AECF是解此题的关键．