Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，若sin∠BAD=

1

3

，求sin∠BAC的值．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：设DE=k，BD=CD=x，BC=2x．先在Rt△ADE中，由sin∠EAD=

DE

AD

=

1

3

，得出AD=3DE=3k，根据勾股定理求得AE=

AD2-DE2

=2

2

k，在Rt△BDE中，由勾股定理求出BE=

BD2-DE2

=

x2-k2

，于是AB=AE+BE=2

2

k+

x2-k2

．然后根据AC的长度不变得出AD²-CD²=AB²-BC²，即9k²-x²=（2

2

k+

x2-k2

）²-4x²，解方程求出x=

3

k，然后在Rt△ABC中利用正弦函数的定义即可求解．

解答：解：设DE=k，BD=CD=x，BC=2x．
∵在Rt△ADE中，∠AED=90°，sin∠EAD=

DE

AD

=

1

3

，
∴AD=3DE=3k，
∴AE=

AD2-DE2

=2

2

k．
∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，
∴BE=

BD2-DE2

=

x2-k2

，
∴AB=AE+BE=2

2

k+

x2-k2

．
∵∠C=90°，
∴AD²-CD²=AB²-BC²，
即9k²-x²=（2

2

k+

x2-k2

）²-4x²，
解得x²=3k²，
即x=

3

k，或x=-

3

k（不合题意舍去），
经检验，x=

3

k是原方程的解，
∴BC=2

3

k，
AB=AE+BE=2

2

k+

x2-k2

=2

2

k+

2

k=3

2

k，
∴sin∠BAC=

BC

AB

=

2 3 k

3 2 k

=

6

3

．

点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，难度适中．设DE=k，BD=CD=x，利用勾股定理列出方程9k²-x²=（2

2

k+

x2-k2

）²-4x²是解题的关键，本题也考查了解无理方程的能力．