Question

如图1，平面直角坐标系中，等腰直角三角板的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边BC=4，经过O、C两点做抛物线y₁=ax（x-t）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA的解析式为y₂=kx（k为常数，k＞0）．
（1）填空：点A的坐标为

 

（用含t的代数式表示）；
（2）若a=

1

4

，随着三角板的滑动，当点E恰好为AB的中点时，求t的值；
（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y₂-y₁|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y₂-y₁|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据点C的坐标为（t，0），以及等腰直角三角形的性质可得点A的坐标；
（2）如图1，过点E作EK⊥x轴于点K，根据三角形中位线定理得到E（t+2，2），代入抛物线y1=

1

4

x(x-t)，得到关于t的方程，解方程即可求解；
（3）如图2，联立

y= 4 t x y=ax(x-t)

，得到点D的横坐标为

4

at

+t，依题意，得：t+4=

4

at

+t，依此可得a与t的关系式．

解答：解：（1）∵三角形ABC是等腰直角三角形，直角边BC=4，
∴AC=4，
∵点C的坐标为（t，0），
∴点A的坐标为（t，4）．
故答案为：（t，4）；
（2）如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．
∵AC⊥x轴，
∴AC∥EK．
∵点E是线段AB的中点，
∴K为BC的中点，
∴EK是△ACB的中位线，
∴EK=

1

2

AC=2，CK=

1

2

BC=2，
∴E（t+2，2）．
∵点E在抛物线y1=

1

4

x(x-t)上，
∴

1

4

(t+2)(t+2-t)=2，
解得t=2．
（3）如图2，∵点A（t，4）在直线y₂=kx上，
∴kt=4，解得：k=

4

t

，
∴y2=

4

t

x（k＞0）．
联立

y= 4 t x y=ax(x-t)

，即：

4

t

x=ax(x-t)，x=

4

at

+t或x=0（不合题意，舍去）．
故点D的横坐标为

4

at

+t，
当x=

4

at

+t时，|y₂-y₁|=0，
依题意，得：t+4=

4

at

+t，
解得a=

1

t

．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，方程思想的运用，关键是作出辅助线，综合性较强，有一定的难度．