Question

将两个不全等的直角三角板，Rt△AOB与Rt△DOE叠放在一起，使得两直角∠AOB与∠DOE的顶点重合，已知∠OAB=∠ODE=30°，下图是直角三角板△DOE绕顶点O顺时针旋转三个瞬间的平面图形．
（1）在旋转过程中，AD：BE的值是否是定值？请利用图1求出这个定值或说明不是定值的理由；
（2）在旋转过程中，AD与BE有什么位置关系？请分别利用图2、图3说明理由．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：常规题型

分析：（1）如图1，由∠AOB=∠DOE=90°得到∠AOD=∠BOE，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到

OA

OB

OD

OE

=

3

，于是根据相似的判定方法得到△AOD∽△BOE，所以

AD

BE

=

OA

OB

=

3

；
（2）如图2，延长EB交AD于F，由

OA

OB

=

OD

OE

，∠AOD=∠BOE=90°可判断△AOD∽△BOE，则∠ADO=∠BEO，然后计算出∠DBF+∠FDB=90°，于是可判断BE⊥AD；如图3，AD与BE相交于P，与前面的方法得到AD⊥BE．

解答：解：（1）AD：BE的值是定值．
如图1，∵∠AOB=∠DOE=90°，
∴∠AOB-∠BOD=∠DOE-∠BOD，
即∠AOD=∠BOE，
∵∠OAB=∠ODE=30°，
∴

OA

OB

=

3

，

OD

OE

=

3

，
∴

OA

OB

=

OD

OE

，
∴△AOD∽△BOE，
∴

AD

BE

=

OA

OB

=

3

；
（2）AD⊥BE．理由如下：
如图2，延长EB交AD于F，
∵

OA

OB

=

OD

OE

，
而∠AOD=∠BOE=90°，
∴△AOD∽△BOE，
∴∠ADO=∠BEO，
∵∠BEO+∠OBE=90°，∠OBE=∠DBF，
∴∠DBF+∠FDB=90°，
∴∠DFB=90°，
∴BE⊥AD；
如图3，AD与BE相交于P，
∵∠AOB=∠DOE=90°，
∴∠AOB+∠BOD=∠DOE+∠BOD，
即∠AOD=∠BOE，
∵

OA

OB

=

OD

OE

=

3

，
∴△AOD∽△BOE，
∴∠1=∠2，
∵∠2+∠3=90°，∠3=∠4，
∴∠1+∠4=90°，
∴∠DPE=90°，
∴AD⊥BE．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．应用相似三角形的判定与性质是解题的关键．