Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90，BC∥x轴，抛物线y=ax²-2ax+3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的性质

专题：计算题

分析：（1）BC与抛物线的对称轴于F点，先根据抛物线的性质得到对称轴为直线x=1，由于BC∥x轴，根据抛物线的对称性得到B点和C点关于直线x=1对称轴，
则AB=AC，于是可判断△ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得AF=BF=1，所以可确定A点坐标为（1，4），然后把A点坐标代入y=ax²-2ax+3求出a即可得到抛物线解析式为y=-x²+2x+3；
（2）先根据抛物线与x轴的交点问题得到D点坐标为（-1，0），设P点坐标为（1，t），利用两点之间的距离公式得到CD²=3²+（2+1）²=18，PC²=1²+（t-3）²，PD²=2²+t²，然后分类讨论：当CD²=PC²+PD²，即18=1²+（t-3）²+2²+t²，解得t₁=

3- 17

2

，t₂=

3+ 17

2

，此时P点坐标为（1，

3- 17

2

），（1，

3+ 17

2

）；当PD²=CD²+PC²，即2²+t²=18+1²+（t-3）²，解得t=4，此时P点坐标为（1，4），；当PC²=CD²+PD²，即1²+（t-3）²=18+2²+t²，解得t=-2，此时P点坐标为（1，-2）．

解答：解：（1）BC与抛物线的对称轴于F点，如图，抛物线的对称轴为直线x=-

-2a

2a

=1，
∵BC∥x轴，
∴B点和C点关于直线x=1对称轴，
∴AB=AC，
而∠BAC=90，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AF=BF=1，
∴A点坐标为（1，4），
把A（1，4）代入y=ax²-2ax+3得a-2a+3=4，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3；
（2）令y=0，则-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴D点坐标为（-1，0），
设P点坐标为（1，t），
∴CD²=3²+（2+1）²=18，PC²=1²+（t-3）²，PD²=2²+t²，
当CD²=PC²+PD²，即18=1²+（t-3）²+2²+t²，解得t₁=

3- 17

2

，t₂=

3+ 17

2

，此时P点坐标为（1，

3- 17

2

），（1，

3+ 17

2

）；
当PD²=CD²+PC²，即2²+t²=18+1²+（t-3）²，解得t=4，此时P点坐标为（1，4），；
当PC²=CD²+PD²，即1²+（t-3）²=18+2²+t²，解得t=-2，此时P点坐标为（1，-2）；
∴符合条件的点P的坐标为（1，

3- 17

2

）或（1，

3+ 17

2

）或（1，4）或（1，-2）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了分类讨论的思想和两点之间的距离公式．