Question

10．设关于x的方程ax²+（a+2）x+9a=0的两实根满足x₁＜1＜x₂．则a的取值范围是（　　）

• A． -$\frac{2}{7}$＜a＜$\frac{2}{5}$
• B． -$\frac{2}{11}$＜a＜0
• C． -$\frac{2}{7}$＜a＜0
• D． a＞-$\frac{2}{11}$

Answer 1

分析 根据根的判别式求出a的取值范围，再根据根与系数的关系求出a的取值范围，求其公共解即可．

解答 解：∵关于x的方程ax²+（a+2）x+9a=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，
∴△=（a+2）²-4a•9a=a²+4a+4-36a²=-35a²+4a+4＞0；
整理得（-5a+2）（7a+2）＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{-5a+2＞0}\\{7a+2＞0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{2}{7}$＜a＜$\frac{2}{5}$；
或$\left\{\begin{array}{l}{-5a+2＜0}\\{7a+2＜0}\end{array}\right.$，无解；
又∵x₁＜1＜x₂，
∴x₁-1＜0，x₂-1＞0，
∴（x₁-1）（x₂-1）＜0，
即x₁x₂-（x₁+x₂）+1＜0，
∵${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{a+2}{a}$，${x}_{1}•{x}_{2}=\frac{c}{a}=\frac{9a}{a}=9$
根据根与系数的关系得，9-（-$\frac{a+2}{a}$）+1＜0，
解得0＞a＞-$\frac{2}{11}$，
综上，-$\frac{2}{11}$＜a＜0．
故选：B．

点评 此题考查了抛物线与x轴的交点、一元二次方程的根与系数的关系，将这二者结合是解决此题的关键．