Question

5．已知：如图，△ABC内接于⊙O，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，D是$\widehat{AC}$上一点（不与点A，C重合），延长CD至点E．
（1）求证：DA平分∠BDE．
（2）若BD⊥AC于点G，OF⊥BC于点F，求证：OF=$\frac{1}{2}$AD．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的性质得∠ABC+∠ADC=180°，加上∠ADE+∠ADC=180°，则∠ABC=∠ADE，再利用圆周角定理得到∠ADB=∠ABC，所以∠ADE=∠ADB；
（2）作直径BH，连结HC．如图，根据垂径定理得到BF=CF，则可判断OF是△CBH的中位线，所以OF=$\frac{1}{2}$HC，再利用圆周角定理得到∠BCH=90°，利用等角的余角相等得到∠DBC=∠ACH，则弧CD=弧AH，所以弧AD=弧CH，则AD=CH，于是得到OF=$\frac{1}{2}$AD．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADE+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴∠ADB=∠ABC，
∴∠ADE=∠ADB，
∴DA平分∠BDE；
（2）作直径BH，连结HC．如图，
∵OF⊥BC，
∴BF=CF，
∵BO=HO，
∴OF是△CBH的中位线，
∴OF=$\frac{1}{2}$HC，
∵BH是直径，
∴∠BCH=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC=∠ACH，
∴弧CD=弧AH，
∴弧AD=弧CH，
∴AD=CH，
OF=$\frac{1}{2}$AD．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．