Question

如图，已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．
实践与操作：
（1）①利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）：作线段AC的垂直平分线MN，垂足为O；
     ②连接BO，并延长BO到点D，使得OD=BO，连接AD、CD；
     ③分别在OA、OC的延长线上取点E、F，使AE=CF，连接BF、FD、DE、EB．
推理与运用：
（2）①求证：四边形BFDE是平行四边形；
     ②若AB=4，AC=6，求当AE的长为多少时，四边形BFDE是矩形．

Answer 1

考点：作图—复杂作图,平行四边形的判定,矩形的判定

专题：

分析：（1）利用线段垂直垂直平分线的作法作出线段AC的垂直平分线MN，进而按要求作出图形；
（2）①利用平行四边形的判定对角线互相平分的四边形是平行四边形得出即可；
②首先利用勾股定理得出BO的长，再利用矩形的性质得出AE的长．

解答：（1）解：如图所示：

（2）①证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，
∵AE=CF，
∴OA+AE=OC+CF，
即OE=OF，
∵OD=BO，
∴四边形BFDE是平行四边形
②解：在Rt△ABC中，
∠BAC=90°，AB=4，AC=6，
∴OA=OC=3，
∴OB=

42+32

=5，
∵OD=BO=5，
∴当四边形BFDE是矩形时，∠BED=90°，
∴EO=

1

2

BD=5，
∴AE=EO-OA=2．

点评：此题主要考查了复杂作图以及矩形的判定与性质和平行四边形的判定等知识，熟练掌握矩形与平行四边形的判定是解题关键．