Question

18．如果关于x的方程x²-x+m=0有两个不相等的实数根，且两根之差的平方小于1，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 设方程x²-x+m=0两根为a、b（a＞b），利用判别式的意义可得m＜$\frac{1}{4}$，再根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=m，由于（a-b）²＜1，则根据完全平方公式得到（a+b）²-4ab＜1，然后解不等式，最后确定m的取值范围．

解答 解：设方程x²-x+m=0两根为a、b（a＞b），
根据题意得△=-（1）²-4m＞0，解得m＜$\frac{1}{4}$，
∵a+b=1，ab=m，
（a-b）²＜1，
∴（a+b）²-4ab＜1，
∴1-4m＜1，解得m＞0，
∴m的取值范围为0＜m＜$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．