Question

设m为一个小于2006的四位数，已知存在正整数n，使得m-n为质数，且mn是一个完全平方数，求满足条件的四位数m．

Answer 1

考点：完全平方数

专题：

分析：由m-n为质数，推得m、n互质，即m、n没有公因数．那么m、n所分解出来的质因数的幂次必然都是偶数．如果m存在奇数次幂的质因子，除非n也有奇数个这样的质因子，mn 才有可能是完全平方数，而这样势必导致m，n有公因数．即m也是完全平方数．又因为mn是完全平方数，所以n也是完全平方数，由此进一步设出m、n，根据m为一个小于2006的四位数得出答案即可．

解答：解：首先m-n是m和n的最大公约数的倍数（这句话应该不用解释，不理解的话就设m=ad，n=bd，d为m和n的最大公约数），那么他们的最大公约数只能是1或者一个质数（设为p）
若最大公约数（m，n）=1 而mn为平方数 则m，n各自为平方数，
设m=a²，n=b²，m为小于2006的4位数所以31＜a＜45，
p=a²-b²=（a-b）（a+b），p为质数，
所以a-b=1，a+b是质数，
也就是2a-1为质数，31＜a＜45，
所以61＜2a-1＜89，这样的a共有34，36，37，40，42．
这是分别可以求得对应的m值为1156，1296，1369，1600，1764共计五中可能．
若（m，n）=p 则设m'=

m

p

，n'=

n

p

，
则m'-n'=1，mn=p²m'n'也是完全平方数，所以m'n'也是完全平方数，n'²≤n'（ n'+1）=n'=m'n'＜（ n'+1）²，左边的等号只能在n=0是取得，n不能等于0，所以m'n'不会是完全平方数．矛盾，所以（m，n）=p不成立．
综上m可以是1156，1296，1369，1600，1764．

点评：此题主要考查完全平方数的性质，两数互质的意义，以及最大公因数的求法，巧妙利用数字的屈指范围得出解决问题的方法．