Question

1．已知：如图，一次函数y=-2x与二次函数y=ax²+2ax+c的图象交于A、B两点（点A在点B的右侧），与其对称轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为D，点C与点D关于x轴对称，且△ACD的面积等于2．
①求二次函数的解析式；
②在该二次函数图象的对称轴上求一点P（写出其坐标），使△PBC与△ACD相似．

Answer 1

分析 （1）把抛物线对称轴方程x=-1代入直线方程，求得相应的纵坐标，易得点C的坐标；
（2）①根据点的坐标的对称性易得抛物线顶点坐标D（-1，-2），故CD=4，结合三角形的面积公式可以求得点A的坐标，将点A的坐标分别代入抛物线解析式为y=a（x+1）²-2，利用待定系数法求得抛物线的解析式即可；
②需要分类讨论：△PBD∽△CAD、△PBD∽△ACD．

解答 解：（1）∵y=ax²+2ax+c=a（x+1）²+c-a，
∴它的对称轴为x=-1．
又∵一次函数y=-2x与对称轴交于点C，
∴y=2．
∴C点的坐标为（-1，2）．

（2）①∵点C与点D 关于x轴对称，
∴点D的坐标为（-1，-2）．
∴CD=4，
∵△ACD的面积等于2．
∴点A到CD的距离为1，C点与原点重合，点A的坐标为（0，0）．
设二次函数为y=a（x+1）²-2过点A，则a=2，
∴y=2x²+4x．

②设P（-1，t）．
交点B的坐标为（-3，6），D（-1，-2），C（-1，2），A（0，0），
则BC=2$\sqrt{5}$，PC=t-2，CD=4，AD=$\sqrt{5}$，
①当△PBC∽△CAD时，$\frac{BC}{AD}$=$\frac{PC}{CD}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=$\frac{t-2}{4}$，
解得t=10，
故点P的坐标为（-1，10），
②当△PBC∽△ACD时，$\frac{BC}{CD}$=$\frac{PC}{AD}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{4}$=$\frac{t-2}{\sqrt{5}}$，
解得t=$\frac{9}{2}$，
故点P的坐标为（-1，$\frac{9}{2}$），
综上所述，点P的坐标为（-1，10），（-1，$\frac{9}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质，有关于动点问题，需要分类讨论，以防漏解．