Question

5．如图，直线a∥b，点A，B，C在直线a上，B是的AC中点，AC=4，分别过点A，C作直线b的垂线，垂足为D，E，F是直线b上的一个动点，连接AF，CF，若AF=CF．
（1）求证：DF=2；
（2）若点G，H分别是AF与CF的中点，试判断四边形BGFH的形状，并说明理由；
（3）若tan∠MAD=$\frac{1}{3}$，M是DF的中点，连接AM，作NM⊥AM于点M，NM交CF于点N，连接AN，试求∠NAM的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据HL证明Rt△ADF与Rt△CEF全等，再利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据菱形的判定进行解答即可；
（3）过点N作NP⊥b于点P，利用三角函数进行解答即可．

解答 解：（1）∵a∥b，AD⊥b，CE⊥b，
∴AD=CE，∠ADF=∠CEF=90°，AC=DE，
在Rt△ADF与Rt△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{AF=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADF≌Rt△CEF（HL），
∴DF=EF，
∵AC=4，
∴DF=$\frac{1}{2}$DE=2；
（2）四边形BGFH是菱形：理由：
∵B，G，H分别是AC，AF，CF的中点，
∴BH∥AF，BH=$\frac{1}{2}$AF=GF，
∴四边形BGFH是平行四边形，
∵AF=CF，
∴GF=HF，
∴四边形BGFH是菱形；
（3）过点N作NP⊥b于点P，

∵DF=2，M是DF的中点，
∴DM=MF=1，
∵tan∠MAD=$\frac{1}{3}$，
∴AD=3，
∴CE=3，AM=$\sqrt{10}$，
∴∠MAD=∠NMP，
∴tan∠NMP=tan∠MAD=$\frac{1}{3}$，
设NP=x，
∴MP=3x，
∵EF=2，
∴tan∠CFE=$\frac{NP}{FP}=\frac{CE}{FE}=\frac{3}{2}$，
∴$FP=\frac{3}{2}x$，
∴3x=$\frac{3}{2}$x+1，
∴x=$\frac{3}{7}$，
∴MP=$\frac{9}{7}$，
∴MN=$\frac{3\sqrt{10}}{7}$，
∴tan∠NAM=$\frac{3}{7}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定，菱形的判定和性质等知识点的理解和掌握，解题关键是根据HL证明Rt△ADF与Rt△CEF全等，熟练掌握菱形的判定和性质．