Question

3．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°．
①求证：AD=BE；
②求∠AEB的度数
（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=90°，则AE与BE的位置关系是AE⊥BE．（直接填空即可）

Answer 1

分析 （1）①欲证明AD=BE，只要证明△ACD≌△BCE即可．
②利用：“8字型”可以证明∠OEB=∠ACO，即可解决问题．
（2）结论：垂直．证明方法类似②．

解答 （1）①证明：如图1中，

∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=80°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．

②解：设AE与BC交于点O．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠COA=∠BOE，
∴∠ACO=∠BEO=80°，
∴∠AEB=80°．

（2）解：结论：垂直．
理由如下：如图2中，设AE与BC交于点O．

∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠COA=∠BOE，
∴∠ACO=∠BEO=90°，
∴AE⊥BE．
故答案为：AE⊥BE．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会利用“8字型”字母角相等，属于中考常考题型．