Question

已知，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若CE=4，求BD的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系

专题：

分析：（1）过点C作CG⊥BD于点G，延长CE交⊙O于点M，根据垂径定理可得CE=EM，

BC

=

BM

，再根据C是弧BD的中点可知

BC

=

CD

，故BD=CM，所以CG=BE，再由AAS定理即可得出△CGF≌△BEF，故可得出结论；
（2）由（1）得，BD=CM，再由CE=4可得出CM的长，进而得出结论．

解答：解：（1）过点C作CG⊥BD于点G，延长CE交⊙O于点M，
∵CE⊥AB于E，
∴CE=EM，

BC

=

BM

．
∵点C是

BD

的中点，
∴

BC

=

CD

，
∴BD=CM，
∴CG=BE．
在△CGF与△BEF中，
∵

CG=BE ∠CGF=∠BEF ∠CFG=∠BFE

，
∴△CGF≌△BEF（AAS），
∴CF=BF；

（2）∵由（1）得，BD=CM，CM=2CE，
∴BD=2CE=8．

点评：本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．