Question

如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，F为DC延长线上一点，且∠CBF=∠CDB．
（1）求证：FB为⊙O的切线；
（2）若AB=8，CE=2，求sin∠F．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：几何图形问题

分析：（1）连接OB，根据圆周角定理证得∠CBD=90°，然后根据等边对等角以及等量代换，证得∠OBF=90°即可证得；
（2）首先利用垂径定理求得BE的长，然后根据△OBE∽△OBF，利用相似三角形的性质求得OF的长，则sin∠F即可求解．

解答：（1）证明：连接OB．
∵CD是直径，
∴∠CBD=90°，
又∵OB=OD，
∴∠OBD=∠D，
又∠CBF=∠D，
∴∠CBF=∠OBD，
∴∠CBF+∠OBC=∠OBD+∠OBC，
∴∠OBF=∠CBD=90°，即OB⊥BF，
∴FB是圆的切线；
（2）解：∵CD是圆的直径，CD⊥AB，
∴BE=

1

2

AB=4，
设圆的半径是R，在直角△OEB中，根据勾股定理得：R²=（R-2）²+4²，
解得：R=5，
∵∠BOE=∠FOB，∠BEO=∠OBF，
∴△OBE∽△OBF，
∴OB²=OE•OF，
∴OF=

OB2

OE

=

25

3

，
则在直角△OBF中，sin∠F=

OB

OF

=

5

25 3

=

3

5

．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．