Question

9．如图，在平面直角坐标系中，OA=2，OB=3，现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移2个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD
（1）写出A、B、C、D的坐标；
（2）求四边形ABDC的面积；
（3）在线段CO上是否存在一点P，使得S_△CDP=S_△PBD？如果有，试求出该点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由OA，OB的长可直接写出点A，B的坐标，再依据平移与坐标变化的规律可求的点C、D的坐标；
（2）由点的坐标可求得AB、OC的长，从而可求得四边形ABDC的面积；
（3）设点P的坐标（0，a），分别用含a的代数式表示出△CDP和△DPB的面积，然后依据三角形的面积公式列方程求解可得a的值，进而可求出该点P的坐标．

解答 解：（1）OA=2，OB=3，
∴A（-2，0）、B（3，0）．
∵将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，
∴C（0，2）、D（5，2）；

（2）∵由平移的性质可知：AB∥CD，AB=CD，
∴ABCD为平行四边形．
∴四边形ABDC的面积=AB•OC=5×2=10；

（3）在线段CO上存在一点P，使得S_△CDP=S_△PBD，理由如下：
如图所示：设点P的坐标为（0，a），则PC=（2-a），PO=a．
∴S_△CDP=$\frac{1}{2}$DC•PC=$\frac{1}{2}$×5（2-a），S_△PBO=$\frac{1}{2}$×3×a，
∴S_△PBD=S_{四边形ABDC}-S_△AOC-S_△CPD-S_△PBO=10-2-$\frac{1}{2}$（10-5a）-1.5a=3-a，
∵S_△CDP=S_△PBD，
∴$\frac{1}{2}$×5（2-a）=3-a．
解得：a=$\frac{4}{3}$，
∴设点P的坐标为（0，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了平移与坐标变换的规律，平移的性质、平行四边形的性质与判定，三角形的面积公式，分类讨论是解答本题的关键．