Question

如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.

（1）求点A的坐标；

（2)当b=0时（如图（2）），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？

（3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4）

（2）当b＝0时，直线为，由解得， 

所以B、C的坐标分别为（－2，－2），（2，2）               

，

所以（利用同底等高说明面积相等亦可）       

当时，仍有成立. 理由如下

由，解得， 

所以B、C的坐标分别为（－，－+b），（，+b），

作轴，轴，垂足分别为F、G，则，

而和是同底的两个三角形，

所以.                                        

（3）存在这样的b.

因为

所以

 

所以，即E为BC的中点

所以当OE=CE时，为直角三角形              

因为

所以 ，而

所以，解得，

所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形.