Question

1．如图，梯形ABCD中，CB∥DA，∠ABC=90°，BA=AD=4，BC=2．动点E从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DA运动，到点A停止，过点E作EG⊥AD交折线D-C-B于点G，以GE为一边向右作正方形GEFH．设运动时间为t（秒），正方形GEFH与梯形ABCD重叠面积为S（平方单位）．
（1）求当点F与A重合时t的值；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）在F与A重合之前，△AHD可能为等腰三角形吗？若可能，请求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据当点F与A重合时，DE+EF=AD，列式计算即可；
（2）分0＜t≤$\frac{4}{3}$、$\frac{4}{3}$＜t≤2和2＜t≤4三种情况进行解答；
（3）分DH=DA和HD=HA，根据勾股定理列式计算即可．

解答 解：（1）当点F与A重合时，DE+EF=AD，即t+2t=4，
解得t=$\frac{4}{3}$；
（2）当0＜t≤$\frac{4}{3}$时，S=2t×2t=4t²，
当$\frac{4}{3}$＜t≤2时，S=2t×（4-t）=-2t²+8t，
当2＜t≤4时，S=4×（4-t）=-4t+16；
（3）当DH=DA时，（3t）²+（2t）²=4²，
解得t=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$，
当HD=HA时，3t=4-3t，
解得t=$\frac{2}{3}$．
答：t=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$或$\frac{2}{3}$时，△AHD为等腰三角形．

点评 本题考查的是直角梯形的性质、矩形面积的计算和等腰三角形的判定，灵活运用分情况讨论思想、熟练运用相关定理是解题的关键．