Question

2．已知：如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点C在第一象限，且∠COA=60°，以OA、OC为邻边作菱形OABC，且菱形OABC的面积为18$\sqrt{3}$．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）动点P从C点出发沿射线CB匀速运动，同时动点Q从A点出发沿射线BA的方向匀速运动，P、Q两点的运动速度均为2个单位/秒，连接PQ和AC，PQ和AC所在直线交于点D，点E为线段BQ的中点，连接DE，设动点P、Q的运动时间为t，请将△DQE的面积S用含t的式子表示，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点Q作QF⊥y轴于点F，当t为何值时，以P、B、F、Q为顶点的四边形为平行四边形？

Answer 1

分析 （1）如图1，过点C作CD⊥OA于点D，解直角三角形求出OD、CD的长即可解决问题．
（2）分两种情形讨论即可①如图2中，当0≤t≤3时．②如图3中，当t＞3时．分别想办法构建方程即可解决问题．
（3）分三种情形①如图4中，当0≤t≤3时．②当t＞3时，由PB=QF时．③当点Q在y轴左侧时，构建PB=QF构建方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1，过点C作CD⊥OA于点D，

设菱形OABC的边长为x，则OA=OC=BC=x，
∵∠COA=60°，
∴CD=OC•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵菱形OABC的面积为18$\sqrt{3}$，
∴x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=18$\sqrt{3}$，
解得：x=±6，
∴OA=OC=BC=6，
∴CD=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，OD=OC•cos60°=3，
∴点C的坐标为：（3，3$\sqrt{3}$），点B的坐标为：（9，3$\sqrt{3}$）；

（2）①如图2中，当0≤t≤3时，作PK∥AB交AC于K，则△PCK是等边三角形．作DH⊥AB于H．

∵PK=PC=AQ，∠PDK=∠ADQ，∠KPD=∠DQA，
∴△PDK≌△QDA，
∴DK=AD=$\frac{1}{2}$（6-2t）=3-t，DH=AD•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-t），EQ=$\frac{1}{2}$BQ=$\frac{1}{2}$（6+2t）=3+t，
∴S=$\frac{1}{2}$•QE•DH=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

②如图3中，当t＞3时，作PK∥AB交AC于K，则△PCK是等边三角形．作DH⊥AB于H．

由△PDK≌△QDA，
∴DK=AD=$\frac{1}{2}$（2t-6）=t-3，DH=AD•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-3），EQ=$\frac{1}{2}$BQ=$\frac{1}{2}$（6+2t）=3+t，
∴S=$\frac{1}{2}$•QE•DH=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²-$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}+\frac{9\sqrt{3}}{4}}&{（0＜t≤3）}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}-\frac{9\sqrt{3}}{4}}&{（t＞3）}\end{array}\right.$．

（3）①如图4中，当0≤t≤3时，作QK⊥OA于K．则AK=t，FQ=OK=6-t，

当PB=FQ时，四边形PBQF是平行四边形，
∴6-2t=6-t，解得t=0．
②当t＞3时，由PB=QF时，2t-6=6-t，解得t=4，

③当点Q在y轴左侧时，由PB=QF可得，t-6=2t-6，解得t=0，此种情形不存在．
综上所述，当t=0或4s时，以P、B、F、Q为顶点的四边形为平行四边形．

点评 本题考查四边形综合题、坐标与图形的性质、菱形的性质、三角形的面积、全等三角形的判定和性质、平行四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．