题目内容
已知抛物线L：y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c都不等于0)，它的顶点P的坐标是(－
，
)，与y轴的交点是M(0，c)．我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线．
(1)请直接写出抛物线y＝2x2－4x＋1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：
伴随抛物线的解析式________，
伴随直线的解析式________；
(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y＝－x2－3和y＝－x－3，则这条抛物线的解析式是________；
(3)求抛物线L：y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c都不等于0)的伴随抛物线和伴随直线的解析式；
(4)若抛物线L与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，x2＞x1＞0，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，且AB＝CD，请求出a、b、c应满足的条件．
答案：
解析：
解析：
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分析：由抛物线 y＝2x2－4x＋1的顶点为(1，－1)，与y轴的交点为(0，1)，那么它的伴随抛物线的顶点为(0，1)，且过点(1，－1)．由于顶点在 y轴上，因此可设伴随抛物线解析式为y＝ax2＋1，再把(1，－1)代入，可求得a＝－2，所以求得伴随抛物线为y＝－2x2＋1．伴随直线是过 (0，1)，(1，－1)两点的直线，设直线解析式为y＝px＋q，则
 解得
所以伴随抛物线为 y＝－2x＋1．(2)若已知一条抛物线的伴随抛物线与伴随直线分别为y＝－x2－3与y＝－x－3，而它们在y轴的交点(0，－3)是原抛物线上的点，这两条图像的另一个交点是原抛物线的顶点，为了求这两个图像的交点，可解方程组
 解得
而 (0，－3)就是两个图像在y轴上的交点，则另一点(1，－4)就是原抛物线的顶点．设抛物线的解析式为 y＝m(x－1)2－4，把(0，3)代入，m＝1，所以y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3．(3)求抛物线y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c都不为0)的伴随抛物线与伴随直线解析式的一般形式，由定义可知，伴随抛物线的顶点是(0，c)，设它的解析式为y＝mx2＋c(m≠0)(对称轴为y轴b＝0)． ∵抛物线过原抛物线的顶点 P(－ ， )．
∴  ＝m·(－ )2＋c，解得m＝－a．
∴伴随抛物线的解析式为 y＝－ax2＋c．设伴随直线解析式为 y＝kx＋c．∵ P(－ ， )在此直线上，∴ ＝－ k＋c，k＝ ，
∴伴随直线的解析式为 y＝ x＋c．
(4)由x2＞x1＞0，且AB＝CD，则可用a、b、c表示出AB、CD的长． ∵抛物线 L与x轴有两个交点，∴Δ1＝b2－4ac＞0，∴b2＞4ac．∵ x2＞x1＞0，∴x1＋x2＝－ ＞0，x1x2＝ ＞0，
∴ ad＜0，ac＞0．对于伴随抛物线 y＝－ax2＋c，有Δ2＝02－(－4ac)＝4ac＞0，由－ ax2＋c＝0，得x＝± ，∴C(－ ，0)，D( ，0)，
∴ CD＝2 ．
又 AB＝x2－x1＝ ＝ ＝ ＝ ．
由 AB＝CD，得 ＝2 ，整理得b2＝8ac．
综上所述 b2＞4ac，ab＜0，ac＞0，b2＝8ac．所以 a、b、c应满足的条件为b2＝8ac且ab＜0(或bc＞0)． |
练习册系列答案
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如图，已知抛物线P：y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
|
x |
… |
－3 |
－2 |
1 |
2 |
… |
|
y |
… |
－ |
－4 |
－ |
0 |
… |
(1)
求A、B、C三点的坐标；(2)
若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3)
当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM＝k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围．
与直线y＝2x交于点O(0，0)，A(a，12)，点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C，E．
与直线y＝x交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OB，BC∥x轴．
，过D、E两点分别作y轴的平行线，交抛物线于F、G，若设D点的横坐标为x，四边形DEGF的面积为y，求x与y之间的关系式，写出自变量x的取值范围，并回答x为何值时，y有最大值．
．
