Question

17．在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D、E、F分别在AC、AB、BC边上，△BEF沿直线EF翻折后与△DEF重合．
（1）试问△DFC是否有可能与△ABC相似？如有可能，请求出BF的长；如不可能，请说明理由；
（2）当点D为AC的中点时，求BF的长；
（3）设CD=x，BF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域．

Answer 1

分析 （1）分△DFC∽△ABC和△DFC∽△BAC两种情况讨论求出CD的长；
（2）过点D作DG⊥BC，垂足为G，根据翻折变换的性质、三角函数和勾股定理即可求出BF的长；
（3）与（2）同理可得y与x的函数解析式．

解答 解：如图，过点A作AH⊥BC，垂足为H，
∵AB=AC，∴BH=$\frac{1}{2}$BC=6，
（1）△DFC有可能与△ABC相似．
设CD=x，
①当△DFC∽△ABC时，∠DFC=∠B=∠C，
∴BF=DF=CD=x，CF=12-x，
∴$\frac{CD}{CA}$=$\frac{CF}{CB}$，即$\frac{x}{10}$=$\frac{12-x}{12}$，
解得：x=$\frac{60}{11}$，
∴BF=$\frac{60}{11}$，
②当△DFC∽△BAC时，∠FDC=∠B=∠C，
∴BF=DF=CF=6，
∴△DFC与△ABC相似时，BF=$\frac{60}{11}$或6；

（2）过点D作DG⊥BC，垂足为G，
∵点D为AC的中点
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴CG=CD•cosC=5×$\frac{6}{10}$=3，
DG=$\sqrt{C{D}^{2}-C{G}^{2}}$=4，
设BF=y，则DF=y，FG=12-y-3=9-y，
∵DG²+FG²=DF²，
∴4²+（9-y）²=y²，
∴y=$\frac{97}{18}$，
∴BF=$\frac{97}{18}$；

（3）与（2）同理可得：CG=$\frac{3}{5}$x，FG=12-y-$\frac{3}{5}$x，DG=$\frac{4}{5}$x，
∵△BEF沿直线EF翻折后与△DEF重合，
∴DF=BF，
∴DF²=DG²+FG²，即：y²=（$\frac{4}{5}$x）²+（12-y-$\frac{3}{5}$x）²
∴函数解析式为：y=$\frac{5{x}^{2}-72x+720}{120-6x}$（0＜x＜12）．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、翻折变换（折叠问题）和解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．