题目内容
如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，△ABE和△ACF都是等边三角形，若AD：BC=12：25，且AB＞AC，求：| S△DBE |
| S△DAF |
考点：面积及等积变换
专题：
分析：利用已知首先得出∠DBE=∠DAF，进而得出△ABD∽△CAD，进而求出△DBE∽△DAF，即可得出
=（
）2，再求出BD，AD的长即可得出答案．
| S△DBE |
| S△DAF |
| DB |
| DA |
解答：解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD=∠CAD+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAD ①
∵△ABE和△ACF都是正三角形，
∴∠ABE=∠CAF ②
①+②，得∠DBE=∠DAF ③
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=∠ADC=90° ④
∴由 ①和 ④可知△ABD∽△CAD
∴
=
⑤
而AB=BE，CA=AF，
∴
=
⑥
∴由 ③和 ⑥可知△DBE∽△DAF（两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似）
∴
=（
）2（相似三角形面积比等于相似比的平方）
∵
=
，
∴AD为12个单位长，BC为25个单位长．
由射影定理可知 DA2=BD•DC=BD•（BC-BD）=BC•BD-BD2
即 BD2-25BD+122=0，
解得BD=16 或 BD=9．
∵AB＞AC，
∴由⑤可知
=
＞1，
∴BD＞AD=12，
∴BD=16个单位长． （BD=9不合条件，应舍去）
∴
=（
）2=（
）2=
．
∴∠ABD+∠BAD=∠CAD+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAD ①
∵△ABE和△ACF都是正三角形，
∴∠ABE=∠CAF ②
①+②，得∠DBE=∠DAF ③
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=∠ADC=90° ④
∴由 ①和 ④可知△ABD∽△CAD
∴
| BD |
| AD |
| AB |
| AC |
而AB=BE，CA=AF，
∴
| BD |
| AD |
| BE |
| AF |
∴由 ③和 ⑥可知△DBE∽△DAF（两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似）
∴
| S△DBE |
| S△DAF |
| DB |
| DA |
∵
| AD |
| BC |
| 12 |
| 25 |
∴AD为12个单位长，BC为25个单位长．
由射影定理可知 DA2=BD•DC=BD•（BC-BD）=BC•BD-BD2
即 BD2-25BD+122=0，
解得BD=16 或 BD=9．
∵AB＞AC，
∴由⑤可知
| BD |
| AD |
| AB |
| CA |
∴BD＞AD=12，
∴BD=16个单位长． （BD=9不合条件，应舍去）
∴
| S△DBE |
| S△DAF |
| DB |
| DA |
| 16 |
| 12 |
| 16 |
| 9 |
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及射影定理等知识，得出BD，AD的长是解题关键．
练习册系列答案
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