Question

2．如图①，水平放置的长方体容器的底面积为60cm²，其内部水平放置着一个实心长方体，长方体的底面积为20cm²．现向容器内匀速注水，注满为止．在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示．
（1）匀速注水的水流速度为120cm³/s．
（2）求长方体容器的高．
（3）求注水过程中水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系式；并求注水多长时间长方体容器内水面高度达到长方体容器高度的一半．

Answer 1

分析 （1）根据图2可知，0～10s时由于实心长方体在水槽里，长方体底面积减小，水面上升的速度较快，所以可知长方体容器中水面恰与实心长方体齐平用了10s，实心长方体的高为30cm；计算出此时水的体积，再除以时间，即可解答；
（2）10～20s时，水淹没实心长方体后一直到水注满，底面积是长方体的底面积，水面上升的速度较慢，所以可知水槽的高度为acm，根据10～20的注水量列出方程，即可解答；
（3）分两种情况求水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系式；当0＜t≤10时，水面高度h与注水时间t的函数图象经过（10，30），
设h=kt，把（10，30）代入，即可解答；当10＜t≤20时，水面高度h与注水时间t的函数图象经过（10，30）、（20，50），设h=kt+b，把（10，30）、（20，50）代入，即可解答；当水面高度达到长方体容器高度的一半时，h=25，因为a=30＞25，所以25=3t，解得 t=$\frac{25}{3}$．

解答 解：（1）图2可知，0～10s时由于实心长方体在水槽里，长方体底面积减小，水面上升的速度较快，所以可知长方体容器中水面恰与实心长方体齐平用了10s，实心长方体的高为30cm；
∴10s时长方体容器中水的体积为：（60-20）×30=1200cm³，
∴注水速度为：1200÷10=120cm³/s，
故答案为：120．
（2）设长方体容器的高度为acm，
则（a-30）×60=120×10．
∴a=50cm．
∴长方体容器的高为50cm，
（3）当0＜t≤10时，水面高度h与注水时间t的函数图象经过（10，30），
设h=kt，把（10，30）代入，得30=10k，
解得：k=3．
∴当0＜t≤10时，水面高度h与注水时间t之间的函数关系式为h=3t．
当10＜t≤20时，水面高度h与注水时间t的函数图象经过（10，30）、（20，50），
设h=kt+b，
把（10，30）、（20，50）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{30=10k+b}\\{50=20k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=10}\end{array}\right.$，
∴当10＜t≤20时，水面高度h与注水时间t之间的函数关系式为h=2t+10，
当水面高度达到长方体容器高度的一半时，h=25，
∵a=30＞25，
∴25=3t，解得t=$\frac{25}{3}$．
∴当水面高度达到长方体容器高度的一半时的t值为$\frac{25}{3}$．

点评 本题主要考查了一次函数的应用以及利用图象获取正确信息，识别函数图象的能力，观察图象提供的信息，再分析高度、时间和容积的关系即可找到解题关键．利用已知图象得出正确信息是考查重点．