Question

4．在坐标平面中，直线y=2x+10分别交x轴、y轴于A、B，点C在x轴的正半轴上，且OC=OA，过点C作AB的垂线分别交y轴于点D，交直线AB于点E．
（1）求直线CD的解析式；
（2）点P为线段CD上的一点（P不与C、D重合），过点O作OF⊥OP，OF交直线AB于F，分别过P、F向x轴引垂线，垂足为M、N．求MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接PF，把△POF沿PF边翻折，设翻折点O落在点G处，连接EG，若EG=7，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A点坐标，根据OA=OC，可得C点坐标，根据互相垂直的两直线间的关系，可得直线CD解析式中一次项的系数，根据待定系数法，可得CD的解析式；
（2）根据互相垂直的两直线的一次项系数的乘积为-1，可得p与f的关系，根据两点间的距离，可得答案；
（3）根据待定系数法，可得PF的解析式，根据互相垂直的两直线的一次项系数的乘积为-1，可得直线OG的解析式，根据OG的中点在直线OG上、在直线PF上，可得G点坐标，根据直线AB与CD的交点，可得E点坐标，根据平行于x轴的直线上两点间的距离等于大的横坐标减小的横坐标，可的关于p的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）过直线y=2x+10
当x=0时，y=2×0+10，B点坐标为（0，10），
当y=0时，x=-$\frac{10}{2}$=-5，A点坐标为（-5，0）．
OC=OA，则C点坐标为（5，0）．
由CD⊥AB，得k_CD=-$\frac{1}{2}$，
设直线CD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$2x+b，
将C点代入解析式，得
0=-$\frac{1}{2}$×5+b，解得 b=$\frac{5}{2}$．
CD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；
（2）设P点坐标为（p，-$\frac{1}{2}$p+$\frac{5}{2}$）
那么k_PO=$\frac{-\frac{1}{2}p+\frac{5}{2}}{p}$
由OP⊥OF，得k_OF=$\frac{-p}{-\frac{1}{2}p+\frac{5}{2}}$
设F点坐标为（f，2f+10）
可知k_OF=$\frac{2f+10}{f}$
那么有$\frac{-p}{-\frac{1}{2}p+\frac{5}{2}}$=$\frac{2f+10}{f}$
整理得到p-f=5
由题意，并观察图形可得到MN的距离为p-f=5；
（3）由（2）可知f=p-5
那么F点坐标为（（p-5），2（p-5）+10），即F（（p-5），2p）
设直线PF解析式为y=kx+b，将F、P坐标代入解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{2p=k（p-5）+b}\\{-\frac{1}{2}p+\frac{5}{2}=pk+b}\end{array}\right.$，解得
$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1-p}{2}}\\{b=\frac{{p}^{2}-2p+5}{2}}\end{array}\right.$，
即PF的解析式为
y=$\frac{1-p}{2}$x+$\frac{{p}^{2}-2p+5}{2}$．
由G关于PF为O的对称点，得
k_OG=$\frac{2}{P-1}$
设OG直线解析式为y=$\frac{2}{p-1}$x，
设G点坐标为（x_G，y_G），
又知道点OG的中点H（$\frac{{x}_{G}}{2}$，$\frac{{y}_{G}}{2}$）在直线PF上，
代入OG、PF解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{G}}{2}=\frac{2}{p-1}•\frac{{x}_{G}}{2}}\\{\frac{{y}_{G}}{2}=\frac{1-p}{2}•\frac{{x}_{G}}{2}+\frac{{p}^{2}-2p+5}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{G}=2p-2}\\{{y}_{G}=4}\end{array}\right.$．
根据CD、AB解析式可求得E点坐标为（-3，4）
那么EG=x_G+3=2p-2+3=7
解得p=3，-$\frac{1}{2}$p+$\frac{5}{2}$=-$\frac{1}{2}$×3+$\frac{5}{2}$=1，
P点坐标为（3，1）．

点评 本题考查了一次函数综合题，（1）利用了互相垂直的两直线间的关系得出直线CD一次项的系数是解题关键；（2）利用互相垂直的两直线的一次项系数的乘积为-1得出关于p、f的方程式解题关键；（3）利用待定系数法求函数解析式，互相垂直的两直线的一次项系数的乘积为-1，解方程组求交点坐标，线段的中点在线段的对称轴上，平行于x轴的直线上两点间的距离．