Question

15．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，连接FC，问：△AEF与△ECF相似吗？若相似，探求你的结论，若不相似，请说明理由．

Answer 1

分析 先证明Rt△AEF∽Rt△DCE得到$\frac{EF}{CE}$=$\frac{AF}{DE}$，再利用AE=DE得到$\frac{EF}{CE}$=$\frac{AF}{AE}$，则利用比例性质得$\frac{EF}{AF}$=$\frac{CE}{EA}$，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△AEF∽△ECF．

解答 解：△AEF与△ECF相似．理由如下：
∵EF⊥EC，
∴∠CEF=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴Rt△AEF∽Rt△DCE，
∴$\frac{EF}{CE}$=$\frac{AF}{DE}$，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∴$\frac{EF}{CE}$=$\frac{AF}{AE}$，
∴$\frac{EF}{AF}$=$\frac{CE}{EA}$，
而∠A=∠CEF，
∴△AEF∽△ECF．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质和矩形的性质．