Question

如图，直线y=-

3

3

x+3与坐标轴分别交于点A、B，边长为l的正方形CDEF顶点C与A重合，边CF在直线AB上．
（1）∠ABO=

 

，AB=

 

；
（2）若正方形CDEF从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着直线AB运动，当F点和B点重合时运动停止．设运动的时间为t秒，正方形CDEG与△ABO的重叠部分的面积为S（不包括C与A、F与B重合时的面积），求出S与t之间的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）先求出A、B两点的坐标，再根据tan∠ABO=

OA

OB

即可得出∠ABO的度数，再根据勾股定理可求出AB的长；
（2）①当0＜t≤

3

3

时，S=S_{正方形CDEF}-S_△DGH；②当

3

3

＜t≤5-

3

时，S=S_{正方形CDEF}；③当5-

3

＜t≤6-

3

时，S=S_{正方形CDEF}-S_△EGH；④当5-

3

＜t＜5时，S=S_{直角梯形PCGH}．

解答：解：（1）∵直线y=-

3

3

x+3与坐标轴分别交于点A、B，
∴A（0，3），B（3

3

，0），
∴tan∠ABO=

OA

OB

=

3

3 3

=

3

3

，AB=

32+(3 3 )2

=6，
∴∠ABO=30°．
故答案为：30°，6；

（2）①如图1，
∵AC=t，CG=

3

t，DG=1-

3

t，DH=

3

3

（1-

3

t），
∴S=S_{正方形CDEF}-S_△DGH=CD•DE-

1

2

•DG•DH，
即S=1×1-

1

2

•（1-

3

t）•

3

3

（1-

3

t），
∴S=-

3

2

t²+t+1-

3

6

，（0＜t≤

3

3

）．
②如图2，可知此时重叠部分的面积S就是正方形CDEF的面积S=S_{正方形CDEF}=CD•DE=1×1=1，（

3

3

＜t≤5-

3

）

③如图3，
∵AC=t，CF=1，AB=6，
BF=5-t，FH=

3

3

（5-t），EH=1-

3

3

（5-t），EG=

3

[1-

3

3

（5-t）]，
∴S=S_{正方形CDEF}-S_△EGH=CD•DE-

1

2

•EG•EH，
S=1×1-

1

2

×

3

[1-

3

3

（5-t）]•[1-

3

3

（5-t）]，
∴S=-

3

6

t²+

5 3 -3

3

t+

18-14 3

3

，（5-

3

＜t≤6-

3

），
④如图4，AC=t，CF=1，AB=6，BF=5-t，FH=

3

3

（5-t），BC=6-t，CG=

3

3

（6-t），
S=S_{直角梯形PCGH}=

1

2

•（FH+CG）•FC
S=

1

2

•[

3

3

（5-t）+

3

3

（6-t）]×1，
S=-

3

3

t+

11 3

6

，（5-

3

＜t＜5）．

点评：本题考查的图象上是一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点，正方形的性质等知识，难度较大．