Question

8．如图：AB=BC=2，∠ABC=90°，EC=EF，∠FEC=90°，直线BE与AF交于点H，在△CEF绕C点旋转过程中，线段BH的最大值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 当AF∥BC时，线段BH的值最大，根据等腰直角三角形斜边与一直角边的比是$\sqrt{2}$，先证明△ACF∽△BCE，得∠EBC=∠CAF=45°，从而得出△BAH是等腰直角三角形，利用勾股定理计算BH=2$\sqrt{2}$．

解答 解：如图所示，当AF∥BC时，线段BH的值最大，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{2}$，
∵AF∥BC，
∴∠FAB=∠ABC=90°，∠CAF=∠ACB=45°，
∵△EFC是等腰直角三角形，
∴$\frac{FC}{EC}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{FC}{EC}$，
∵∠ACB=∠ECF=45°，
∴∠BCE=∠ACF，
∴△ACF∽△BCE，
∴∠EBC=∠CAF=45°，
∵AF∥BC
∴∠AHB=∠EBC=45°
∴∠BAH=90°，即△BAH是等腰直角三角形，
∴AH=AB=2，
∴BH=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，也是旋转变换问题；做好本题的关键有两个：①找出BH为最大值的位置，②证明两个三角形相似；同时要明确一个问题：等腰直角三角形斜边与直角边的倍数关系：斜边=$\sqrt{2}$×直角边，可以利用此结论求边，也可以利用它得出边的比相等，从而证明相似．