Question

3．如图，是一副三角板，在△ABC 中，∠A=90°，∠C=60°，∠B=30°；在△A₁B₁C₁中，∠C₁=90°，∠A₁=45°，∠B₁=45°，且A₁B₁=AB．若将边A₁C₁与边AC重合，其中点A₁与点A重合．将三角板A₁B₁C₁绕点A（A₁）按顺时针方向旋转，旋转角为α，旋转过程中边A₁C₁与边BC的交点为P，设AC=m．
（1）计算A₁C₁的长；
（2）当α=30°时，证明：B₁C₁∥BC；
（3）若m=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，当α=45°时，计算两个三角板重叠部分图形的面积；
（4）当α=60°时，用含m的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，由特殊锐角三角函数值，先求得AB的长，然后在Rt△A₁B₁C₁中利用特殊锐角三角函数即可求得A₁C₁的长；
（2）利用三角形的外角的性质求得∠APB=90°，然后利用同位角相等，两直线平行进行判定即可；
（3）如下图：作PH⊥AB于H．求出PH即可解决问题；
（4）根据S_重叠部分=${S}_{△AF{C}_{1}}$-${S}_{△PD{C}_{1}}$计算即可解决问题；

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠C=60°，AC=m，
由特殊锐角三角函数可知：$\frac{AB}{AC}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{3}$m．
∴AB₁=$\sqrt{3}$m
在Rt△A₁B₁C₁，∠B₁=∠45°，
∴$\frac{{A}_{1}{C}_{1}}{A{B}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴A₁C₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{3}$m=$\frac{\sqrt{6}}{2}$m．

（2）∵∠CAP=30°，∠C=60°，
∴∠APB=∠C+∠CAP=90°．
∴∠C₁=∠APB，．
∴B₁C₁∥BC．

（3）如下图：作PH⊥AB于H．

∵∠PAH=45°，
∴可以假设PH=AH=x，则BH=$\sqrt{3}$x，
∴x+$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$），
解得x=$\sqrt{6}$，
∴S_重叠部分=$\frac{1}{2}$•AB•PH=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）•$\sqrt{6}$=3$\sqrt{3}$+3．

（4）如图，设B₁C₁交AB于F，交BC于D．

由（1）可知：AC₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$m，
在Rt△AFC₁中，FC₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，
∴${S}_{△AF{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$m•$\frac{\sqrt{6}}{2}$m=$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²，
由题意△ACP是等边三角形，
∴PC₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$m-m，DC₁=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{6}}{2}$m-m），
∴${S}_{△PD{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{6}}{2}$m-m）²=$\frac{5\sqrt{3}-6\sqrt{2}}{4}$m²，
∴S_重叠部分=${S}_{△AF{C}_{1}}$-${S}_{△PD{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²-（$\frac{5\sqrt{3}-6\sqrt{2}}{4}$m²）=$\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{2}$m²．

点评 本题主要考查的是锐角三角函数和三角形的综合应用，难度较大，解答本题的关键是灵活应用锐角函数求得相关线段的长度．