Question

圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁从底面圆周上的点B出发沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC的中点D．问蚂蚁沿怎样的路线爬行，使路程最短？最短的路程是多少？

Answer 1

考点：平面展开-最短路径问题,圆锥的计算

专题：

分析：将圆锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”可得出蚂蚁爬行的最短路线及最短的路程．

解答：解：由题意知，圆锥底面圆的直径为2，故底面周长等于2π．
如图，将圆锥的侧面展开，得到扇形BCB′，则蚂蚁沿线段BD爬行，路程最短．
设扇形BCB′的圆心角为n°，
根据圆锥底面周长等于它展开后扇形的弧长得，2π=

n×π×3

180

，
解得：n=120，
则展开图中扇形的圆心角为120°，即∠BCB′=120°，则∠1=60°．
过D作DF⊥BC于F．
∵D为AC中点，AC=3，
∴DC=

3

2

．
∵∠1=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=

3

4

，
∴DF²=CD²-CF²=

27

16

，
∵BC=3，CF=

3

4

，
∴BF=

9

4

．
在Rt△BFD中，利用勾股定理得：
BD²=BF²+FD²=

81

16

+

27

16

=

27

4

，
则BD=

3 3

2

．
故蚂蚁沿线段BD爬行，路程最短，最短的路程是

3 3

2

．

点评：本题考查了平面展开-最短路径问题，用到的知识点：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．